Warum eigentlich „Axiomatisieren“?

“[...] Ein Grund für unser Vorgehen ist sicherlich, dass wir in dieser Vorlesung einen Eindruck davon vermitteln wollen, wie Mathematiker denken. Eine gute Mathematikerin wird sich in der Regel nicht damit zufrieden geben, eine in einem Fall gewonnene Erkenntnis möglichst Eins-zu-Eins auf einen anderen Fall zu übertragen. Stattdessen wird sie sich (hoffentlich) die folgenden Fragen stellen:

• Kann ich die für den Beweis eines Satzes relevanten Eigenschaften der Objekte, die ich betrachtet habe, mit möglichst wenigen prägnanten Axiomen formulieren?
• Bleibt ein Satz gültig, wenn ich einige der gemachten Annahmen abschwäche?
• Kann ich eine stärkere Version des Satzes beweisen, wenn ich stärkere Annahmen hinzufüge?
• Kann ich neue Situationen finden, in denen der Satz anwendbar ist?

Aus diesen Fragen spricht eine gewisse Weltsicht (man könnte auch sagen: Ideologie), die wir Ihnen im Folgenden näherbringen wollen. Mathematik ist – so die Sicht der Mathematiker – nicht nur ein Werkzeug, um Probleme zu lösen, sondern auch eine sehr spezielle Art, über die Welt nachzudenken.

Was das Lösen konkreter Probleme angeht, so ist der mathematische Zugang in der Regel mühsamer und langsamer als der Zugang eines Physikers oder Ingenieurs. Der axiomatische Zugang der Mathematiker erfordert in vielen Fällen einen sehr langen Atem – vor allem natürlich beim Entwickeln einer mathematischen Theorie, aber auch schon beim bloßen Nachvollziehen. [...]

Was sind nun die Vorteile des mathematischen Zugangs? Der große Vorteil des Zugangs liegt wohl in der sehr breiten Anwendbarkeit. Man löst sicher manche Probleme langsamer, aber dafür findet man auf dem Weg dahin häufig Antworten auf andere Fragen, die man sich vielleicht sonst gar nicht gestellt hätte. Manchmal hat man auch unerwartet Glück und kann dieselben Argumente mehrmals verwenden. [...]

Ein wichtiger Aspekt der mathematischen Methode ist auch, dass man dank ihr immer wieder unerwartete Querverbindungen entdeckt, weil z.B. ein Satz, der ursprünglich aus der Geometrie motiviert war, plötzlich in der Arithmetik anwendbar wird oder umgekehrt. Die Geschichte der Mathematik ist voller solcher überraschender Querverbindungen, und das bestärkt die Mathematiker, an ihrer Methode festzuhalten. Nichtsdestotrotz soll hier nicht verschwiegen werden, dass die mathematische Art des Verallgemeinerns viel Geduld und Durchhaltevermögen erfordert, die manchmal erst spät (dann aber häufig umso mehr) belohnt werden.

Falls Sie an dieser Stelle nun aber ungeduldig werden und sich fragen, worauf das hier alles hinausläuft: [...] [Wir werden] bis zum Ende von Kapitel 3 die allgemeine Lösungstheorie linearer Gleichungssysteme entwickelt haben [...], aber wir nehmen jetzt nicht den kürzesten Weg dorthin, sondern einen landschaftlich schöneren Umweg.”